GUÍA 4. ECUACIONES Y LENGUAJE ALGEBRAICO.

PUNTO DE LLEGADA

Utilizo métodos informales (ensayo y error, complementación) en la solución de ecuaciones.

Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre si en situaciones concretas de cambio (variación)

ACTIVIDADES DE PUNTO DE PARTIDA

El sembrado de maíz: En alguna ocasión, los hermanos Estefanía y Jean Carlos hicieron un sembrado de maíz, uno de los dos hermanos quiso hacerle un seguimiento a su planta de maíz. Los estudiantes desconocían  que en la huerta, el maíz produce aproximadamente una hoja semanal durante 14 semanas, a partir de la cual ya no se produce hojas.

El seguimiento del cultivo es interrumpido por las vacaciones, por eso la tabla de datos quedó incompleta:

Responde:

·      La característica número de hojas toma diferentes valores o el mismo en la experiencia?

·      La característica número de tallos en una planta, toma diferentes valores o el mismo en la experiencia?

Los bultos: Doña Olga, junto el bulto de su amigo Juanes (bulto 1),  con el de ella (bulto 2 que pesaba 25kg),  luego pensó, voy  a ver cuantos kilogramos de maíz tengo, al pesarlo se dio cuenta que pesaban 100kg.

Lo mismo hizo con unos bultos de arroz.

Las figuras a continuación ilustran la información presentada:

Su amigo juanes, le pregunto cuanto tenían los bultos de él. Pero como Doña Olga, no los peso, ayúdala a hallar la información desconocida:

·           ¿Cuánto pesa el bulto 1 de maíz?

·           ¿Cuánto pesa el bulto 1 de arroz?

·           ¿Qué procedimiento seguiste para determinar estos valores? Explica.

·           Compara el procedimiento utilizado por ti, con los utilizados por otros compañeros, para responder las siguientes preguntas:

a)         ¿Los resultados obtenidos son iguales a los tuyos?

b)         ¿El procedimiento utilizado es igual o diferente?

c)         Junto con el resto del curso, socialicen los procedimientos y con ayuda del analista, determinen cual de ellos es más apropiado para resolver la situación.

INVESTIGACIÓN

Realice lectura de los documentos Anexo 1. y Anexo 2

·         En la parte de atrás de tu cuaderno, define, los 14 términos que aparecen subrayados en el Anexo 1.  y lenguaje algebraico y lenguaje verbal que se nombran en el Anexo 2.

·         Elabore una ficha nemotécnica en la que describa: como solucionar una ecuación?, cuál es la propiedad uniforme?, cómo se realiza una prueba a la solución de una ecuación? (Ver Anexo 1.)  y por ultimo debes incluir un cuadro de ejemplos generales de lenguaje algebraico y lenguaje verbal.

DESARROLLO DE LA HABILIDAD

·         En las situaciones planteadas en el punto de partida, identifica: una variable, tres contantes, cuales son las cuatro incógnitas presentadas en los ejercicios y asígnales una letra.

·         Identificar los miembros y términos de la ecuación 4x=28. Luego, halla su solución.

·         Expresa en lenguaje simbólico ó algebraico cada una de las expresiones siguientes:

a. El triple de un número: _____________________________

b. La mitad de un número: ____________________________

c. El cuádruplo de un número: _________________________

d. Un tercio de un número: ___________________________

e. Dos números consecutivos (seguidos):_________________

g. La suma de dos números es 24:______________________

·         Encerrar la ecuación que corresponde a la frase. Luego, resolver.

a. Un número disminuido en 7 es igual a 112.

7-m=112        m-7=112

b. un nuero aumentado en 16 equivale a 236.

P+16=236        p-236=16

c. La séptima parte de un número es 574.

7r=574   r

d. El doble de un número es igual al triple de 16

2k=3.16     k

·         Expresar en términos algebraicos las expresiones:

a. María tiene 19 años más que su hijo.

b. Pedro se caso hace 3 años cuando tenía 25 años. Cuántos años tiene ahora?

c. Luis, Alejo y Jairo reunieron $120,000.

RELACIÓN

Reúnete con un compañero y considera los siguientes casos:

·         Tú mamá hizo un retiro de $50.000 de su cuenta de banco y el recibo dice que en su cuenta queda un saldo de $125.000, ¿cuánto dinero tenía antes de realizar el retiro?

·         Un compañerito de tu salón tiene 13 años y no te quiere decir la edad de su mamá, pero si sábes que la suma de los años de los dos es 38. ¿Podrías saber igual, la edad de la mamá de tu amigo? Formula la ecuación y resuélvela.

·         Tú tienes un negocio de arepas de yuca y debe realizar una lista de precios para, tus clientes. Para esto debes plantear una ecuación y tener en cuenta que un paquete de arepas de yuca cuesta $1.800. ¿Cuánto cuestan tres paquetes de arepas de yuca? ¿Cuánto cuestan cinco paquetes de arepas de yuca?

Paquetes de arepas de yuca	Precio
1	$ 1.800
2	$ 3.600
3	?
4	?

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ANEXO 1 CONCEPTOS INCIALES Y SOLUCION DE UNA ECUACIÓN.

CONCEPTOS INICIALES: Cuando una característica toma diferentes valores o le mismo, en la experiencia; esta característica se denomina variable y se representa con una letra. Por ejemplo, la variable t define un conjunto de valores posibles que puede tomar el tiempo.

Cuando una característica sólo tiene un valor, es decir no cambia, se denomina constante.

Por  ejemplo, el número de tallos de plantas del maíz siempre es 1 y es constante.

Incógnitas: Son valores, números u otros objetos que no se conocen en una expresión. Comúnmente se representan con letras.

Las variables como incógnitas: cuando se usan para representar números (u otros objetos) uno de cuyos valores posibles hace verdadera una expresión. La incógnita interviene como un objeto matemático desconocido que se manipula como si fuera conocido.

Una Igualdad es una expresión que compara dos cantidades mediante el signo igual. Expresiones como 5+4=9, 10-5=5 y 2x3-3=3 reciben el nombre de igualdades numéricas.

Una ecuación es una igualdad en la que aparecen una o varias cantidades desconocidas llamadas variables o incógnitas. Las incógnitas como se había dicho anteriormente, se representan por letras minúsculas. Cada ecuación se cumple para determinar valores  de la incógnita o incógnitas presentes en ella.

En toda ecuación, la expresión que se encuentra antes del signo igual se denomina primer término y la expresión que se encuentra después del igual se denomina segundo miembro. Así, en la ecuación x+3=5, x+3 es el primer miembro y 5 el segundo miembro.

Los sumandos, minuendos y sustraendos de cada miembro de una ecuación reciben el nombre de términos. Así, en la ecuación 2x+5=11, los términos son 2x, 5 y 11.

RECUERDA:

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN: La ecuación x-3=7, únicamente se verifica si x=10. Este último valor se denomina solución de la ecuación.

Así, resolver una ecuación significa hallar el valor o valores de la incógnita que cumplen con la igualdad dada.

Para comprobar la solución de una ecuación basta con remplazar el valor obtenido en dicha ecuación y verificar que se cumple la igualdad. Por ejemplo, x=5 es solución de la solución de la ecuación x+7=2. Así, Si x+7=12, se tiene que x=5 porque 5+7=12.

Propiedad uniforme de las igualdades: el proceso para encontrar la solución de una ecuación se fundamenta en la aplicación de la propiedad uniforme de las igualdades.

Si en los dos miembros de una igualdad se suma, se resta, se multiplica o se divide entre un mismo número, la igualdad se conserva. Así, si a=b entonces,

A continuación se presentan tres casos:

CASO1. Para resolver ecuación de la forma x+a=b ó x-a=b, se suma o se resta en ambos miembros de la ecuación el término a, con el fin de que la variable quede despejada. Por ejemplo, para resolver la ecuación x-7=7, se procede de la siguiente manera:

x-7=4                       Ecuación  dada

x-7+7=4+7              Se suma 7 a cada miembro de la ecuación.

X+0=11                   Se efectúan las operaciones.

X=11                        Se efectúan las operaciones.

CASO2. Para resolver ecuaciones de la forma ax=b se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término a. por ejemplo, para resolver la ecuación 5x=45 se procede de la siguiente manera.

5x=45                   Ecuación  dada

5x=45                   Se divide cada miembro de la ecuación entre 5

 5     5

1X=9                     Se efectúan las operaciones.

X=9                       

CASO3.Para resolver ecuaciones de la forma x = b se multiplican ambos miembros de la ecuación por el término a. Por ejemplo, para resolver la ecuación x =10 se procede de la siguiente manera.                                  

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ANEXO 2. BASES DEL LENGUAJE ALGEBRAICO

Consideremos el ejercicio de los bultos trabajado en punto de partida.

Si escribimos la información presentada en el ejercicio escribiríamos lo siguiente:           ?+25=100,

pero en ves de escribir el signo de pregunta, usaremos, una letra que puede ser cualquiera de nuestro abecedario, para representar una incógnita; luego la información presentada quedaría:             X+25=100,

Si observamos el dato desconocido se designa por cualquier otra letra, en este caso la x, solo quiere decir“aun no sabemos cual número es”, y se le llama incógnita o variable.

Consideremos, ahora, algunas expresiones del lenguaje común, pasadas al lenguaje simbólico:

Lenguaje común ó verbal	Lenguaje simbólico ó algebraico
Un número cualquiera	a
Otro número cualquiera	b
El doble de un número	2x
El triple de un número	3y
La mitad de un numero	x/2
Un número aumentado en 7	x+7
un numero disminuido en 5	x-5

EJEMPLOS:

1.        traducir la lenguaje verbal las siguientes expresiones:

Pregunta	Respuesta
x/3	La tercera parte de un número
2x+5	El doble de un numero aumentado en 5
x/2-8	La mitad de un numero disminuida en 8

Escribir como lenguaje algebraico cada una de las siguientes expresiones que están en le lenguaje verbal.

Si te das cuenta ese lenguaje verbal se convirtió en una ecuación al convertirla al lenguaje algebraico, lo que quiere decir, que al solucionar cada una de esas ecuaciones, puedes hallar los números de las tres primeras ecuaciones, la edad de pedro, teniendo la edad de Juan el valor de una prenda de vestir, teniendo el valor de una.