GUÍA 4. ECUACIONES Y LENGUAJE ALGEBRAICO.

PUNTO DE LLEGADA

Utilizo métodos informales (ensayo y error, complementación) en la solución de ecuaciones.

Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre si en situaciones concretas de cambio (variación)

ACTIVIDADES DE PUNTO DE PARTIDA

El sembrado de maíz: En alguna ocasión, los hermanos Estefanía y Jean Carlos hicieron un sembrado de maíz, uno de los dos hermanos quiso hacerle un seguimiento a su planta de maíz. Los estudiantes desconocían  que en la huerta, el maíz produce aproximadamente una hoja semanal durante 14 semanas, a partir de la cual ya no se produce hojas.

El seguimiento del cultivo es interrumpido por las vacaciones, por eso la tabla de datos quedó incompleta:

Responde:

·      La característica número de hojas toma diferentes valores o el mismo en la experiencia?

·      La característica número de tallos en una planta, toma diferentes valores o el mismo en la experiencia?

Los bultos: Doña Olga, junto el bulto de su amigo Juanes (bulto 1),  con el de ella (bulto 2 que pesaba 25kg),  luego pensó, voy  a ver cuantos kilogramos de maíz tengo, al pesarlo se dio cuenta que pesaban 100kg.

Lo mismo hizo con unos bultos de arroz.

Las figuras a continuación ilustran la información presentada:

Su amigo juanes, le pregunto cuanto tenían los bultos de él. Pero como Doña Olga, no los peso, ayúdala a hallar la información desconocida:

·           ¿Cuánto pesa el bulto 1 de maíz?

·           ¿Cuánto pesa el bulto 1 de arroz?

·           ¿Qué procedimiento seguiste para determinar estos valores? Explica.

·           Compara el procedimiento utilizado por ti, con los utilizados por otros compañeros, para responder las siguientes preguntas:

a)         ¿Los resultados obtenidos son iguales a los tuyos?

b)         ¿El procedimiento utilizado es igual o diferente?

c)         Junto con el resto del curso, socialicen los procedimientos y con ayuda del analista, determinen cual de ellos es más apropiado para resolver la situación.

INVESTIGACIÓN

Realice lectura de los documentos Anexo 1. y Anexo 2

·         En la parte de atrás de tu cuaderno, define, los 14 términos que aparecen subrayados en el Anexo 1.  y lenguaje algebraico y lenguaje verbal que se nombran en el Anexo 2.

·         Elabore una ficha nemotécnica en la que describa: como solucionar una ecuación?, cuál es la propiedad uniforme?, cómo se realiza una prueba a la solución de una ecuación? (Ver Anexo 1.)  y por ultimo debes incluir un cuadro de ejemplos generales de lenguaje algebraico y lenguaje verbal.

DESARROLLO DE LA HABILIDAD

·         En las situaciones planteadas en el punto de partida, identifica: una variable, tres contantes, cuales son las cuatro incógnitas presentadas en los ejercicios y asígnales una letra.

·         Identificar los miembros y términos de la ecuación 4x=28. Luego, halla su solución.

·         Expresa en lenguaje simbólico ó algebraico cada una de las expresiones siguientes:

a. El triple de un número: _____________________________

b. La mitad de un número: ____________________________

c. El cuádruplo de un número: _________________________

d. Un tercio de un número: ___________________________

e. Dos números consecutivos (seguidos):_________________

g. La suma de dos números es 24:______________________

·         Encerrar la ecuación que corresponde a la frase. Luego, resolver.

a. Un número disminuido en 7 es igual a 112.

7-m=112        m-7=112

b. un nuero aumentado en 16 equivale a 236.

P+16=236        p-236=16

c. La séptima parte de un número es 574.

7r=574   r

d. El doble de un número es igual al triple de 16

2k=3.16     k

·         Expresar en términos algebraicos las expresiones:

a. María tiene 19 años más que su hijo.

b. Pedro se caso hace 3 años cuando tenía 25 años. Cuántos años tiene ahora?

c. Luis, Alejo y Jairo reunieron $120,000.

RELACIÓN

Reúnete con un compañero y considera los siguientes casos:

·         Tú mamá hizo un retiro de $50.000 de su cuenta de banco y el recibo dice que en su cuenta queda un saldo de $125.000, ¿cuánto dinero tenía antes de realizar el retiro?

·         Un compañerito de tu salón tiene 13 años y no te quiere decir la edad de su mamá, pero si sábes que la suma de los años de los dos es 38. ¿Podrías saber igual, la edad de la mamá de tu amigo? Formula la ecuación y resuélvela.

·         Tú tienes un negocio de arepas de yuca y debe realizar una lista de precios para, tus clientes. Para esto debes plantear una ecuación y tener en cuenta que un paquete de arepas de yuca cuesta $1.800. ¿Cuánto cuestan tres paquetes de arepas de yuca? ¿Cuánto cuestan cinco paquetes de arepas de yuca?

Paquetes de arepas de yuca	Precio
1	$ 1.800
2	$ 3.600
3	?
4	?

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ANEXO 1 CONCEPTOS INCIALES Y SOLUCION DE UNA ECUACIÓN.

CONCEPTOS INICIALES: Cuando una característica toma diferentes valores o le mismo, en la experiencia; esta característica se denomina variable y se representa con una letra. Por ejemplo, la variable t define un conjunto de valores posibles que puede tomar el tiempo.

Cuando una característica sólo tiene un valor, es decir no cambia, se denomina constante.

Por  ejemplo, el número de tallos de plantas del maíz siempre es 1 y es constante.

Incógnitas: Son valores, números u otros objetos que no se conocen en una expresión. Comúnmente se representan con letras.

Las variables como incógnitas: cuando se usan para representar números (u otros objetos) uno de cuyos valores posibles hace verdadera una expresión. La incógnita interviene como un objeto matemático desconocido que se manipula como si fuera conocido.

Una Igualdad es una expresión que compara dos cantidades mediante el signo igual. Expresiones como 5+4=9, 10-5=5 y 2x3-3=3 reciben el nombre de igualdades numéricas.

Una ecuación es una igualdad en la que aparecen una o varias cantidades desconocidas llamadas variables o incógnitas. Las incógnitas como se había dicho anteriormente, se representan por letras minúsculas. Cada ecuación se cumple para determinar valores  de la incógnita o incógnitas presentes en ella.

En toda ecuación, la expresión que se encuentra antes del signo igual se denomina primer término y la expresión que se encuentra después del igual se denomina segundo miembro. Así, en la ecuación x+3=5, x+3 es el primer miembro y 5 el segundo miembro.

Los sumandos, minuendos y sustraendos de cada miembro de una ecuación reciben el nombre de términos. Así, en la ecuación 2x+5=11, los términos son 2x, 5 y 11.

RECUERDA:

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN: La ecuación x-3=7, únicamente se verifica si x=10. Este último valor se denomina solución de la ecuación.

Así, resolver una ecuación significa hallar el valor o valores de la incógnita que cumplen con la igualdad dada.

Para comprobar la solución de una ecuación basta con remplazar el valor obtenido en dicha ecuación y verificar que se cumple la igualdad. Por ejemplo, x=5 es solución de la solución de la ecuación x+7=2. Así, Si x+7=12, se tiene que x=5 porque 5+7=12.

Propiedad uniforme de las igualdades: el proceso para encontrar la solución de una ecuación se fundamenta en la aplicación de la propiedad uniforme de las igualdades.

Si en los dos miembros de una igualdad se suma, se resta, se multiplica o se divide entre un mismo número, la igualdad se conserva. Así, si a=b entonces,

A continuación se presentan tres casos:

CASO1. Para resolver ecuación de la forma x+a=b ó x-a=b, se suma o se resta en ambos miembros de la ecuación el término a, con el fin de que la variable quede despejada. Por ejemplo, para resolver la ecuación x-7=7, se procede de la siguiente manera:

x-7=4                       Ecuación  dada

x-7+7=4+7              Se suma 7 a cada miembro de la ecuación.

X+0=11                   Se efectúan las operaciones.

X=11                        Se efectúan las operaciones.

CASO2. Para resolver ecuaciones de la forma ax=b se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término a. por ejemplo, para resolver la ecuación 5x=45 se procede de la siguiente manera.

5x=45                   Ecuación  dada

5x=45                   Se divide cada miembro de la ecuación entre 5

 5     5

1X=9                     Se efectúan las operaciones.

X=9                       

CASO3.Para resolver ecuaciones de la forma x = b se multiplican ambos miembros de la ecuación por el término a. Por ejemplo, para resolver la ecuación x =10 se procede de la siguiente manera.                                  

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ANEXO 2. BASES DEL LENGUAJE ALGEBRAICO

Consideremos el ejercicio de los bultos trabajado en punto de partida.

Si escribimos la información presentada en el ejercicio escribiríamos lo siguiente:           ?+25=100,

pero en ves de escribir el signo de pregunta, usaremos, una letra que puede ser cualquiera de nuestro abecedario, para representar una incógnita; luego la información presentada quedaría:             X+25=100,

Si observamos el dato desconocido se designa por cualquier otra letra, en este caso la x, solo quiere decir“aun no sabemos cual número es”, y se le llama incógnita o variable.

Consideremos, ahora, algunas expresiones del lenguaje común, pasadas al lenguaje simbólico:

Lenguaje común ó verbal	Lenguaje simbólico ó algebraico
Un número cualquiera	a
Otro número cualquiera	b
El doble de un número	2x
El triple de un número	3y
La mitad de un numero	x/2
Un número aumentado en 7	x+7
un numero disminuido en 5	x-5

EJEMPLOS:

1.        traducir la lenguaje verbal las siguientes expresiones:

Pregunta	Respuesta
x/3	La tercera parte de un número
2x+5	El doble de un numero aumentado en 5
x/2-8	La mitad de un numero disminuida en 8

Escribir como lenguaje algebraico cada una de las siguientes expresiones que están en le lenguaje verbal.

Si te das cuenta ese lenguaje verbal se convirtió en una ecuación al convertirla al lenguaje algebraico, lo que quiere decir, que al solucionar cada una de esas ecuaciones, puedes hallar los números de las tres primeras ecuaciones, la edad de pedro, teniendo la edad de Juan el valor de una prenda de vestir, teniendo el valor de una.

GUIA 3. RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO.

GUIA. RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO

PUNTO DE LLEGADA                                                                                                                                

                                   

ü  Usa herramientas para representar y explicar las conclusiones de los análisis realizados.

ü  Hace análisis de los datos recolectados para inferir ideas o conclusiones.

ACTIVIDADES DE PUNTO DE PARTIDA

·         ¿Qué crees que es razonamiento geométrico?

·         ¿Haz solucionado ejercicios de razonamiento geométrico antes?

·         ¿Para qué piensas que sirve estudiar el razonamiento geométrico?

COMPETENCIA PUNTO DE PARTIDA Y LLEGADA

Conoce los elementos y funcionalidades que tiene el uso de las fichas Nemotécnicas, para el desarrollo del Sistema Educacional Relacional Itagüí.

Piensa críticamente para opinar y decidir.

RECOLECCIÓN Y PROCESO DE INFORMACIÓN

1.        Realice lectura del tema razonamiento geométrico en el anexo consignado la final de la guía.

2.       Elabore una ficha nemotécnica de tipo resumen y comentario sobre el tema propuesto, que le permita más adelante diferenciar y solucionar  los diferentes tipos de problemas de razonamiento lógico trabajados en la cartilla.

DESARROLLO DE LA HABILIDAD

1.       Realice los ejercicios propuestos para el tema actual, el anexo mostrado al final de la guía.

RELACIÓN

1.      1.  Reúnete con otros compañeros e intercambia los procesos de pensamiento que tuvieron en cuenta para encontrar la respuesta a los ejercicios propuestos en la etapa de desarrollo de la habilidad. Hay diferencias?

2.       2. Completa la ficha nemotécnica elaborada en la etapa de recolección con las conclusiones que obtuviste al compartir información con tus compañeros y lo nuevo aprendido en la etapa de desarrollo de la habilidad. 

3.      3.  Describe qué elementos se facilitaron en el desarrollo del tema, cuáles se le dificultaron y qué cree que debe reforzar en el tema visto.

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ANEXO.

Razonamiento geométrico: se puede definir, como la unión entre la geometría (intuición y “visión”) con el razonamiento matemático.

El razonamiento geométrico se divide en cinco fases que dan cuenta del nivel de razonamiento geométrico que posee la persona; donde cada nivel está caracterizado por una forma distinta de comprensión y utilización de los conceptos geométricos, lo cual se refleja en una manera diferente de interpretarlos, definirlos, clasificarlos y hacer demostraciones.

El modelo de razonamiento geométrico más conocido, es el de Van Hiele, que fue desarrollado por los esposos, Dina y Pierre, Van Hiele, simultáneamente con la universidad de Utrecht (Rojas, C.), este modelo se encuentra dividido en dos etapas, la primera está dirigida exclusivamente a los estudiantes y permite realizar un acercamiento a los niveles de razonamiento geométrico en que se encuentran los estudiantes, esta primera etapa se encuentra dividida en cinco niveles y se denomina fases de razonamiento geométrico de Van Hiele.

El modelo de van hiele, permite que el docente haga una ³radiografía geométrica´ para determinar el nivel de razonamiento geométrico en que los estudiantes se encuentran y de esta manera aplicar estrategias que se encaminen a desarrollar habilidades en la resolución de problemas geométricos tanto aplicados como teóricos. Además, “los esposos van hiele plantean que el desarrollo de las habilidades de razonamiento geométrico, permite desarrollar habilidades de pensamiento y es facilitador del desarrollo intelectual de los estudiantes”. Por esta razón en la línea del modelo de los Van-Hiele, varios son los autores que, desde hace décadas, muestran la potencialidad del modelo para analizar el nivel de razonamiento en el trabajo geométrico, desarrollando a su vez nuevas estructuras o explicando las fases de una u otra manera.

A continuación, una  estructura de una prueba de razonamiento geométrico basada en el modelo Van Hiele, donde se muestra en cada nivel que se analiza.

Nivel 0 Visualización o razonamiento	Figuras y objetos
Nivel 1 Análisis	Partes y propiedades
Nivel 2 Ordenación o clasificación	Implicaciones entre propiedades
Nivel 3 Deducción formal	Deducción formal de teoremas

Según Fouz&Berritzegune, las fases de la primera etapa son denominadas de la siguiente manera:

Nivel 0: Visualización o reconocimiento. Según los autores, este nivel posee tres características que lo identifican, 1) los objetos se ven como un todo, es decir no hay una diferenciación entre los objetos que componen una determinada figura, no logran diferenciar los atributos que lo componen, 2) se hace una descripción del objeto asimilándolo a objetos familiares y comunes, no existe un lenguaje apropiado a la geometría para nombrar determinadas figuras y 3) no se reconocen de forma clara componentes y propiedades de los objetos con los que se trabaja.

Nivel 1: Análisis. En este nivel, los estudiantes identifican componentes y propiedades de los objetos y las figuras, sin embargo, aun no establecen relaciones entre propiedades o entre figuras y no poseen la capacidad para clasificar las propiedades y los objetos.

Nivel 2: Ordenación o clasificación. Este nivel posee tres características, 1) los estudiantes describen las figuras de manera formal, 2) se realizan clasificaciones lógicas de manera formal ya que el nivel de su razonamiento matemático ya esta iniciado y 3) siguen las demostraciones pero no las entienden en cuanto a su estructura, esto se da porque su nivel de razonamiento lógico es capaz de seguir pasos individuales de un razonamiento, pero no de asimilarlo en su totalidad. (Fouz&Berritzegune).

Nivel 3: Deducción formal. Se destacan algunos elementos por los cuales se puede identificar la llegada a este nivel, durante este nivel el estudiante logra hacer deducciones y demostraciones lógicas y formales, las relaciones se formalizan en conceptos axiomáticos, logran llegar a resultados similares o iguales partiendo de proposiciones distintas y lo que más caracteriza este nivel es que el estudiante logra crear una visión globalizadora de las matemáticas y se puede observar un alto nivel de razonamiento geométrico.

Nivel 4: Rigor. Se puede trabajar la geometría de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos, alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático. (Fouz&Berritzegune). Sin embargo, se considera que el estudiante que logre alcanzar un nivel3, posee suficiente capacidad de razonamiento geométrico, por lo tanto la mayoría de estudios realizados sobre el tema evalúan los niveles 1,2 y 3.

TALLER PROPUESTO

(NOTA: LOS PUNTOS 6,7,8,9 Y 13 NO SON OBLIGATORIOS PARA SEXTO)

1.     A partir del cuadrado formado con 12 palillos, como se muestra en la figura, retira dos palillos para obtener dos cuadrados. ¿Son del mismo tamaño los cuadrados obtenidos?

2.    ¿Cuántos triángulos diferentes puedes encontrar en la siguiente figura?

3.    El cuadrado de la figura de abajo está formado por 24 palillos y 9 cuadros iguales. Retira ocho palillos para obtener dos cuadrados, de manera que uno sea más pequeño que el otro. ¿Cuántas soluciones hay?

4.    Cuántos cuadrados de todos los tamaños posibles contiene la siguiente figura:

5.    A partir del siguiente cuadrado formado con 24 cerillas, quita 4 cerillas de manera que quede un cuadrado grande y cuatro cuadrados pequeños.

6.    Divide la pizza con tres líneas rectas de manera que  quede sólo un trozo de pimiento en cada porción.

7.    Intenta conectar cada rectángulo con el triángulo que tiene el mismo número. Las líneas no deben cruzarse ni salirse del diagrama.

8.    Fíjate si puedes unir cada cuadrado con el triángulo que tiene el mismo número. Las líneas no pueden cruzarse ni salirse del diagrama.

9.    Trata de unir los nueve puntos usando sólo cuatro líneas rectas. Nota: al trazar las líneas, no puedes alzar el lapicero.

10.  Intenta dividir, con dos líneas rectas, esta figura en tres partes que contengan la misma cantidad de bolitas.

11.  Agrega dos líneas rectas y divide el cuadrante del reloj en tres partes. La suma de los números de cada parte debe ser iguales.

12.  Fíjate si puedes hacer una tercera flecha que tenga el mismo tamaño que las otras dos agregando sólo dos líneas rectas.

13.  Dividir el pastel cilíndrico en 8 trozos iguales pero solamente con tres cortes.